第二个重要极限

题目

第二个重要极限
x趋向无穷时,lim(1+1/x+1/x^2)^x=e?
难道是 1/x^2可以无视掉么?为什么

答案

设y=(1+1/x+1/x^2)^x,lny=xln(1+1/x+1/x^2)
lim x->∞ xln(1+1/x+1/x^2)
=lim ln(1+1/x+1/x^2)/(1/x)
=lim [(-1/x²-2/x³)/(1+1/x+1/x^2)]/(-1/x²)
=lim -(-1-2/x)/(1+1/x+1/x^2)
=lim (x²+2x)/(x²+x+1)
=lim (2x+2)/(2x+1)
=lim 2/2=1
所以 lim x-∞ y=e^(lim x-∞ xln(1+1/x+1/x^2))=e^1=e
所以原极限=e.