已知f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-1/2g（x）=-x3+2x2+3x+7，f（x）在x=1处有极值2，求f（x）的解析式和单调区间．

题目

已知f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-

1

2

答案

由于f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-

1

2

g（x）=-x³+2x²+3x+7，
则可设f（x）=-x³+2x²+cx+d，
故有 f′（x）=-3x²+4x+c，
由题意知f′（1）=0，则-3+4+c=0，∴c=-1  
 又f（1）=2，∴d=2
∴f（x）=-x³+2x²-x+2   
则 f′（x）=-3x²+4x-1，
由f′（x）＞0得到

1

3

＜x＜1；
由f′（x）＜0得到x∈（-∞，

1

3

）∪（1，+∞） 
∴函数f（x）的单调递增区间为（

1

3

，1），单调递减区间为（-∞，

1

3

）及（1，+∞）．