如图,AB∥CD,BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,点E在AD上. 求证:BC=AB+CD.
题目
如图,AB∥CD,BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,点E在AD上.
求证:BC=AB+CD.
答案
证明:在BC上取点F,使BF=BA,连接EF,
∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在△ABE和△FBE中,
,
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴∠A=∠5.
∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,
∴∠5+∠D=180.
∵∠5+∠6=180°,
∴∠6=∠D.
在△CDE和△CFE中,
,
∴△CDE≌△CFE(AAS),
∴CF=CD.
∵BC=BF+CF,
∴BC=AB+CD.
在BC上取点F,使BF=BA,连接EF,由角平分线的性质可以得出∠1=∠2,从而可以得出△ABE≌△FBE,可以得出∠A=∠5,进而可以得出△CDE≌△CFE,就可以得出CD=CF,即可得出结论.
全等三角形的判定与性质.
本题考查了角平分线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时运用截取法正确作辅助线是关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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