证明锐角三角形三条高教与一点

题目

证明锐角三角形三条高教与一点

答案

已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F
求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC
∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此三角形三条高交于一点
设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,
即向量a·(向量c-向量b)=0,
向量b·(向量a-向量c)=0,
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.
用高中的知识要简单得多,比如解析法、向量法
下面用初中的知识,不过必须用四点共圆,
如图,设高BE、CF交于H ,连结AH并延长交BC于D,连结DE、EF、FD
只要证明AD⊥BC即可.
因为∠HFA＋∠HEA＝180°,所以A、F、H、E四点共圆 ,所以∠EAH＝∠EFH
同理：B、C、E、F四点共圆,所以∠EFC＝∠EBC ,
由上得：∠EAD＝∠EBD ,所以A、B、D、E四点共圆
所以∠ADB＝∠AEB＝Rt∠
所以AD⊥BC
问题：求证三角形的三条高交于一点（垂心）.
说明一下,这里用的方法,都是初中水平的,相信大家都能看懂.
证明的方法很多,这里提供两种方法,都附有图像：
1.相似三角形法（见下）
2.外心法
下面的是第一种方法：相似三角形法
已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点O1,交高CF于点O2.
求证：O1、O2、O三点重合
证明：
如图,
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠AEB = ∠AFC = 90°
又∵∠BAE = ∠CAF
∴△ABE ∽ △ACF
∴AB/AC = AE/AF,
即AB*AF = AC*AE
同理,
又∵AD⊥BC
∴△AEO1 ∽ △ADC,△AFO2 ∽ △ADB
∴AE/AD = AO1/AC,AF/AD = AO2/AB
即AC*AE = AD*AO1,AB*AF = AD*AO2
∵AB*AF = AC*AE,AC*AE = AD*AO1,AB*AF = AD*AO2
∴AD*AO1 = AD*AO2
∴AO1 = AO2
∵点O1、O2都在线段AD上
∴点O1、O2重合
∴AD与BE、AD与CF交于同一点
∵两条不平行的直线只有一个交点
∴BE与CF也交于此点
∴点O1、O2、O重合
命题得证.