如图,在等腰三角形ABC,角ACB=90度,E为ABC内一点,且AC=1,求E到A、B、C的距离之和最小值

题目

如图,在等腰三角形ABC,角ACB=90度,E为ABC内一点,且AC=1,求E到A、B、C的距离之和最小值

答案

三角形ABC面积=1*1/2=1/2 不妨设E到A、B、C的距离分别为a b c
则1/2*（a*1+b*1+c*根号2）=三角形ABC面积=1/2 所以（a+b+根号2*c)=1
则a+b=1-根号2*c 而E到A、B、C的距离之和=a+b+c=1-根号2*c+c=1+(1-根号2）c c越大对应的和就越小 因而c最大可取 根号2/2 所以最小和为根号2/2 此时E点与C重合