三道数学题,有关概率和多面体的

题目

三道数学题,有关概率和多面体的
1.将1、2……9这9个数平均分成三组,则每组的三个数都称等差数列的概率为?
2.A袋中后红球白球若干,摸出红球的概率是1/3,则从A中又放回的摸球,每次摸一个,共摸5次,恰好有3次摸到红球的概率?
3.四面体的一条棱长是x,其余各条棱是1,（1）把四面体的体积V表示成x的函数（2）求V的值域 （3）求V的单调区间
1/56
40/243
(x/12)√(3-x^) (0,1/8] 增：(0,√6/2] 减：[√6/2,√3)

答案

1.符合条件的分法有五种：
1、2、3；4、5、6；7、8、9
1、2、3；4、6、8；5、7、9
1、3、5；2、4、6；7、8、9
1、4、7；2、5、8；3、6、9
1、5、9；2、3、4；6、7、8
所有分法的总数N=C9'3*C6'3/(C3'1*C2'1)=280
概率P=5/280=1/56
2.等概率事件问题
P=C5'3*(1/3)^3*(2/3)^2=40/243
3.(1)长度x的棱中点和相对的棱所在平面把四面体分为两个四面体
体积都等于V'=(1/3)*((1/2)*x*((√3-x^2)/2)*(1/2)=(x/24)*(√3-x^2) ("√"到所在括号尾)
总体积V=(x/12)*(√3-x^2) 定义域(0,√3)
(2)V=(x/12)*(√3-x^2)
=(√3x^2-x^4)/12
=(√(9/4-(x^4-3x^2+9/4)))/12
=(√(9/4-(x^2-3/2)^2))/12
<=(√9/4)/12=1/8
所以值域(0,1/8]
(3)V=(√(9/4-(x^2-3/2)^2))/12
所以x^2在(0,3/2]单调递增,[3/2,3)单调递减
因为x>0
所以x在(0, √6/2] 单调递增,[√6/2,√3)单调递减