用正交线性替代法求f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2-2x 2x 3

题目

用正交线性替代法求f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2-2x 2x 3

答案

急求：用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注：x1中的1为下标)
|A-λE|=
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3
r1-(1/2)(λ-1) - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3
第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3
-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3
=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).
所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.
对λ1=-1,(A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2,(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5,(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'
令Q=(b1,b2,b3),则X=QY为正交变换,且有 f =-y1^2+2y2^2+5y3^2