y=(x/1+x)∧sinx 求dy arctanx=㏑根号下x方+y方 求dy

题目

y=(x/1+x)∧sinx 求dy arctanx=㏑根号下x方+y方 求dy

答案

第一题：
∵y＝［x/（1＋x）］^（sinx）,∴lny＝sinx［lnx－ln（1＋x）］＝sinxlnx－sinxln（1＋x）,
∴（1/y）dy＝｛cosxlnx＋（1/x）sinx－cosxln（1＋x）－［1/（1＋x）］sinx｝dx
＝｛cosxln［x/（1＋x）］＋［1/x－1/（1＋x）］sinx｝dx
＝｛cosxln［x/（1＋x）］＋［1/（x＋x^2）］sinx｝dx
∴dy＝［x/（1＋x）］^（sinx）｛cosxln［x/（1＋x）］＋［1/（x＋x^2）］sinx｝dx
第二题：
∵arctanx＝ln√（x^2＋y^2）,∴arctanx＝（1/2）ln（x^2＋y^2）,
∴2arctanx＝ln（x^2＋y^2）,∴e^（2arctanx）＝x^2＋y^2,
∴y＝±√［e^（arctanx）－x^2］.
由e^（2arctanx）＝x^2＋y^2,得：［e^（2arctanx）］d（arctanx）＝2xdx＋2ydy,
∴2ydy＝［e^（2arctanx）］［1/（1＋x^2）］dx－2xdx,
∴dy＝±【｛［e^（2arctanx）］/（2＋2x^2）－2x｝/√［e^（arctanx）－x^2］】dx