已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P. (1)求证:DP=PE; (2)若D为AC的中点,求BP的长.

已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P. (1)求证:DP=PE; (2)若D为AC的中点,求BP的长.

题目
已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.
(1)求证:DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长.
答案
(1)证明:过点D作DF∥AB,交BC于F.∵△ABC为正三角形,∴∠CDF=∠A=60°.∴△CDF为正三角形.∴DF=CD.又BE=CD,∴BE=DF.又DF∥AB,∴∠PEB=∠PDF.∵在△DFP和△EBP中,∵∠BPE=∠FPD∠PEB=∠PDFBE=FD,∴...
(1)过点D作DF∥AB,构造三角形全等,可证得△CDF为等边三角形,得到DF=BE,可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP;
(2)若D为AC的中点,则DF是△ABC的中位线,有BF=
1
2
BC=
1
2
a,点P是BF的中点,得到BP=
1
2
BF=
1
4
a.

等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理.

本题利用了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质求解.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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