已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P． （1）求证：DP=PE； （2）若D为AC的中点，求BP的长．

题目

已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．
（1）求证：DP=PE；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．

答案

（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵∠BPE＝∠FPD∠PEB＝∠PDFBE＝FD，∴...

（1）过点D作DF∥AB，构造三角形全等，可证得△CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP；
（2）若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF=

1

2

BC=

1

2

a，点P是BF的中点，得到BP=

1

2

BF=

1

4

a．

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

考点点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质求解．