这个行列式怎么做

题目

这个行列式怎么做
1+x 1 1 1
1 1-x 1 1
1 1 1+y 1
1 1 1 1-y

答案

有个经典技巧是添加一行一列,原式与如下行列式相等(将下式按第1列展开可知):
1 1 1 1 1
0 1+x 1 1 1
0 1 1-x 1 1
0 1 1 1+y 1
0 1 1 1 1-y
从第2,3,4,5行分别减去第1行得:
1 1 1 1 1
-1 x 0 0 0
-1 0 -x 0 0
-1 0 0 y 0
-1 0 0 0 -y
再分别将第2,3,4,5列的1/x倍,-1/x倍,1/y倍和-1/y倍加到第1列得:
1 1 1 1 1
0 x 0 0 0
0 0 -x 0 0
0 0 0 y 0
0 0 0 0 -y
作为上三角行列式,可知其值为1·x·(-x)·y·(-y) = x²y².