设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数．

题目

设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数．

答案

证明：对任意x∈(−a，a)，f′(−x)＝lim△x→0f(−x+△x)−f(−x)△x＝lim△x→0f[−(x−△x)]−f(−x)△x由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），于是f′(−x)＝lim△x→0−f(x−△x)...

证明f′（x）是（-a，a）内的偶函数即证f′（-x）=f′（x），而函数f（x）没有解析式，故想到运用导数的定义进行证明．

本题考点：函数奇偶性的判断；导数的运算．

考点点评：本题考查导数的定义以及函数奇偶性的判断．