如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B，若S△BPQ=3S△APQ，求这个二次函数的解

题目

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B，若S_△BPQ=3S_△APQ，求这个二次函数的解析式．

答案

∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点P，
∴点P的坐标为（-

b

2

，0），根据图形可得b＜0，
即可得到b²-4ac=0，
∵a=1，
∴b²-4c=0，
解得c=

b2

4

∵二次函数与y轴的交点为Q
∴点Q的坐标为（0，c），
∵Q在y=2x+m上，
∴m=c
∴一次函数解析式为y=2x+c

y＝2x+c y＝x2+bx+c

∴B（2-b，4-2b+

b2

4

）
∵S_△BPQ=3S_△AQP
∴S_△ABP=4S_△AQP
∴点B的纵坐标与Q的纵坐标的比为4：1，
那么4-2b+

b2

4

=b²，
解得b=-4或b=

4

3

（舍去）．
当b=-4时，c=4，
∴二次函数为y=x²-4x+4．

通过已知条件，让两个函数解析式组成方程组，用b、c表示出各点坐标，通过面积关系，得到底相同高的关系式，最后得到b=-4或

4

3

，这样c=4或

4

9

，舍去不合题意的值．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：二次函数与一次函数解析式的常数项都是与y轴的交点．底相同的两个三角形，面积比就是高的比．