设反常积分∫(0,1)1/(x^a)收敛,则a的取值范围

题目

设反常积分∫(0,1)1/(x^a)收敛,则a的取值范围

答案

显然
∫(0,1) 1/ x^adx
=∫(0,1) x^(-a) dx
=1/(-a+1) * x^(-a+1)
若积分收敛,
那么代入下限0得到的一定是常数而不是无穷大,
所以-a+1 >0
故a的取值范围是a<1