已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)),求证f(x)为奇函数

题目

已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)),求证f(x)为奇函数
RT

答案

令x=y=0
f(0)+f(0)=f((0+0)/(1+0))
f(0)+f(0)=f(0)
f(0)=0
令y=-x
f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)),
f(x)+f(-x)=f((x-x)/(1-x^2))=f(0)=0
f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数