以数列｛an｝的任意相邻两项为坐标的点Pn（an,a（n+1)）（n属于N+）均在一次函数

题目

以数列｛an｝的任意相邻两项为坐标的点Pn（an,a（n+1)）（n属于N+）均在一次函数
以数列｛an｝的任意相邻两项为坐标的点P(an,a(n+1))(n∈N*)均在一次函数y=2x+k的图像上,数列｛bn｝满足条件:bn=a(n+1)-an(n∈N*,b1≠0).
(1)求证:｛bn｝是等比数列;
(2)设数列｛an｝,｛bn｝的前n项和分别为Sn,Tn 若S6=T4,S5=-9,求k的值

答案

根据题意
a = 2 an + k
an = 2a + k
其中 < > 表示下标
两式相减 则
a - an = 2(an - a)
因此 bn = a - an 是 公比为 2 的等比数列
b1 = a2 - a1
bn = b1 * q^(n-1) = (a2 - a1) * 2^(n-1)
其中 符号 ^ 表示乘方运算
---------
根据等比数列求和公式,则对于数列 {bn}
Tn = b1 * (q^n -1)/(q-1) = (a2 -a1) * (2^n -1)
同时
Tn = b1 + b2 + …… + bn
= (a2 - a1) + (a3 - a2) + (a4 -a3) + …… + (a -an)
= a - a1
因此
a = a1 + Tn = a1 + (a2 - a1) * (2^n -1)
an = a1 + (a2 - a1) * [2^(n-1) -1]
a1 = a1 + (a2 - a1) * (2^0 -1)
a2 = a1 + (a2 - a1) * (2^1 -1)
a3 = a1 + (a2 - a1) * (2^2 -1)
a4 = a1 + (a2 - a1) * (2^3 -1)
……
因此
Sn = a1 + a2 + …… an
= n * a1 + (a2 -a1)*[2^0 + 2^1 + 2^2 + …… + 2^(n-1) - n]
= n * a1 + (a2 - a1)*(2^n -1 -n)
Tn = b1 * (q^n -1)/(q-1) = (a2 -a1) * (2^n -1)
T4 = (a2 - a1) * (2^4 -1) = 15*(a2 -a1)
S6 = 6 * a1 + (a2 - a1) * (2^6 -1 -6) = 57 * a2 - 51 * a1
S5 = 5 * a1 + (a2 - a1) * (2^5 -1 -5) = 26 * a2 - 21 * a1
则
26 * a2 - 21 * a1 = -9
57 * a2 - 51 * a1 = 15 * a2 - 15 * a1
解得
a2 = -6
a1 = -7
a2 = 2 * a1 + k
-6 = 2 * (-7) + k
k = 8