函数f（x）=x2+2x+5在[t，t+1]t∈R上的最小值为φ（t），求φ（t）的表达式．

题目

函数f（x）=x²+2x+5在[t，t+1]t∈R上的最小值为φ（t），求φ（t）的表达式．

答案

∵y=x²+2x+5=（x+1）²+4，对称轴为x=-1，
∴函数f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，
当t+1＜-1，即t＜-2时，φ（t）=f（x）_min=f（t+1）=（t+2）²+4，
当t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1时，φ（t）=f（x）_min=f（-1）=4，
当t＞-1时，φ（t）=f（x）_min=f（t）=（t+1）²+4，
∴φ（t）=

(t+2)2+4，(t＜−2) 4，(−2≤t≤−1) (t+1)2+4，(t＞−1)

．

首先将抛物线y=x²+2x+5配方成y=（x+1）²+4的形式，进而可以确定对称轴为x=-1，据此可以求出其最小值．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是利用配方确定二次函数的对称轴．