平面曲线曲率证明 K|dx/ds| = |d(dy/ds)/ds|

题目

平面曲线曲率证明 K|dx/ds| = |d(dy/ds)/ds|
s是曲线y=f(x)上自A(a,f(a))到P(x,y)之间一段弧的长度,K为曲线在点P的曲率,证明如题!求详解

答案

平面曲线曲率证明 K|dx/ds| = |d(dy/ds)/ds|
s是曲线y=f(x)上自A(a,f(a))到P(x,y)之间一段弧的长度,K为曲线在点P的曲率,证明如题!
∵︱ds/dx︱=︱√(1+y′²)︱,∴︱dx/ds︱=︱1/√(1+y′²)︱
k=︱y″/(1+y′²)^(3/2)︱
故k︱dx/ds︱=︱y″/(1+y′²)²︱.(1)
︱dy/ds︱=︱y′dx/ds︱=︱y′/√(1+y′²)︱
︱d(dy/ds)/ds|=︱{d[y′/√(1+y′²)]/dx}(dx/ds)︱=︱{[y″√(1+y′²)]-y′²y″/√(1+y′²)]/(1+y′²)}[1/√(1+y′²)]
=︱{[y″(1+y′²)-y′²y″]/(1+y′²)^(3/2)}[1/√(1+y′²)]=︱y″/(1+y′²)²︱.(2)
由(1)(2)可知：K|dx/ds| = |d(dy/ds)/ds|