设梯形的两低分别为a、b,过其对角线交点作两低的平行线,求夹在两腰间的线段EF的长

题目

设梯形的两低分别为a、b,过其对角线交点作两低的平行线,求夹在两腰间的线段EF的长

答案

设AD=a,BC=b,对角线交点为M,平行线与两腰的交点为E、F
在△ABC中,EM‖BC ∴EM/BC=AE/AB……（1）
在△ABD中,EM‖AD ∴EM/AD=BE/AB……（2）
(1)+(2)得：EM/BC+EM/AD=AE/AB+BE/AB=1 即 EM(1/a+1/b）=1……（5）
在△DBC中,FM‖BC ∴FM/BC=DF/CD……（3）
在△ACD中,FM‖AD ∴FM/AD=CF/CD……（4）
(3)+(4)得：FM/BC+FM/AD=DF/CD+CF/CD=1 即 FM(1/a+1/b）=1……（6）
（5）+（6）得：EF(1/a+1/b)=2
∴EF=2ab/(a+b)