已知（α-β）的余弦值为-12/13,（α+β）的余弦值为12/13且（α-β）∈（90°,180°）（α+β）∈（270°,360°）求β

题目

已知（α-β）的余弦值为-12/13,（α+β）的余弦值为12/13且（α-β）∈（90°,180°）（α+β）∈（270°,360°）求β

答案

解
∵(a-b)∈(90,180)
∴sin(a-b)>0
∵cos(a-b)=-12/13
∴sin(a-b)=√1-(-12/13)^2=5/13
∵(a+b)∈(270.360)
∴sin(a+b)<0
∵cos(a+b)=12/13
∴sin(a+b)=-√1-(12/13)^2=-5/13
∴cos2b
=cos[(a+b)-(a-b)]
=cos(a+b)cos(a-b)+sin(a+b)sin(a-b)
=12/13×(-12/13)+(-5/13)×(5/13)
=-144/169-25/169
=-1
∵(a-b)∈(90,180)
(a+b)∈(270.360)
∴b-a∈(-180,-90)
∴2b∈(90,270)
∴2b=π
∴b=π/2