已知:如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F. (1)求证:AM=DM; (2)若DF=2,求菱形ABCD的周长.

已知:如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F. (1)求证:AM=DM; (2)若DF=2,求菱形ABCD的周长.

题目
已知:如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.

(1)求证:AM=DM;
(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长.
答案
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAC=∠DAC.
又∵EF⊥AC,
∴AC是EM的垂直平分线,
∴AE=AM,
∵AE=AM=
1
2
AB=
1
2
AD,
∴AM=DM.
(2)∵AB∥CD,
∴∠AEM=∠F.
又∵∠FMD=∠AME,∠AME=∠AEM,
∴∠FMD=∠F,
∴△DFM是等腰三角形,
∴DF=DM=
1
2
AD.
∴AD=4.
∴菱形ABCD的周长是16.
(1)易证△AME是等腰三角形.则AM=AE=
1
2
AB=
1
2
AD,就可以证出;
(2)同理可以证出△DFM是等腰三角形,则DF=
1
2
AD,就可以求出边长,求出周长.

线段垂直平分线的性质;菱形的性质.

本题主要考查了等腰三角形的性质,等边对等角.线段的垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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