在数列{an}中 已知a1=1 a2=3 an+2-an+1-2an=0 则an=

题目

在数列{an}中 已知a1=1 a2=3 an+2-an+1-2an=0 则an=

答案

a(n+2)-a(n+1)-2an=0,[a(n+2)-2a(n+1)]+[a(n+1)-2an]=0,
a2-2a1=3-2*1=1=(-1)^2 两边除以2^2 a2/2^2-a1/2=(-1/2)^2
a3-2a2=-(a2-2a1)=(-1)^1,两边除以2^3 a3/2^3-a2/2^2=(-1/2)^3
a4-2a3=-(a3-2a2)=(-1)^2,两边除以2^4 a4/2^4-a3/2^3=(-1/2)^4
…….
an-2a(n-1)=(-1)^(n-2),两边除以2^n an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=(-1/2)^n,
以上n-1个式子相加 得 an/2^n=1/4(1-(-1/2)^(n-1))/(1-(-1/2))
整理 得an=1/3[2^(n+1)-(-1)^(n+1)]
以n=1,2代入检验,得a1=1,a2=3.