设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB=x，求△ADP的面积的最大值，及此时x的值．

题目

设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB=x，求△ADP的面积的最大值，及此时x的值．

答案

解∵设AB=x，则AD=12-x，又DP=PB′，AP=AB′-PB′=AB-DP，即AP=x-DP，
∴（12-x）²+PD²=（x-PD）²，得PD=12-

72

x

，
∵AB＞AD，
∴6＜x＜12，
∴△ADP的面积S=

1

2

AD•DP=

1

2

（12-x）（12-

72

x

）=108-6（x+

72

x

）≤108-6•2

72

=108-72

2

，当且仅当x＝

72

x

即x＝6

2

时取等号，
∴△ADP面积的最大值为108−72

2

，此时x＝6

2

．

设AB=x，则AD=12-x，利用勾股定理得打PD，再根据三角形的面积公式个基本不等式的性质，即可求出．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题主要考查了三角形面积公式和基本不等式的性质，属于基础题．