在等腰△ABC中,AB＝AC,D是△ABC内一点,∠ADB＝ ∠ADC,求证：∠DBC＝ ∠DCB.

题目

在等腰△ABC中,AB＝AC,D是△ABC内一点,∠ADB＝ ∠ADC,求证：∠DBC＝ ∠DCB.

答案

证明:作∠CAE=∠BAD,使AE=AD(点E和D在AC两侧).连接CE和DE.
∵AC=AB,AE=AD,∠CAE=∠BAD.
∴⊿CAE≌⊿BAD(SAS),CE=BD;------------------------------(1)
且∠AEC=∠ADB=∠ADC.
∵AE=AD.
∴∠AED=∠ADE.则∠AEC-∠AED=∠ADC-∠ADE.
即∠CED=∠CDE,得CE=CD.-----------------------------------(2)
所以,CD=BD,∠DBC=∠DCB.