已知函数f(x)在（-∞,+∞）上连续切满足∫（0 x）f(x-u)e^udu=sinx,x∈ （-∞,+∞）,求f(x)

题目

已知函数f(x)在（-∞,+∞）上连续切满足∫（0 x）f(x-u)e^udu=sinx,x∈ （-∞,+∞）,求f(x)

答案

∫（0 x）f(x-u)e^udu=sinx令x-u=t,u=x-t,u=0,t=x,u=x,t=0,du=-dt则原式化为-∫[x,0]f(t)e^(x-t)dt=sinx∫[0,x]f(t)e^(x-t)dt=sinxe^x∫[0,x]f(t)e^(-t)dt=sinx两边求导得e^x∫[0,x]f(t)e^(-t)dt+f(x)e^(-x)=cosxsin...