△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角， ①求最大角的余弦值； ②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

题目

△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，
①求最大角的余弦值；  
②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

答案

（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1（n∈N*且n＞1），∵（n-1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整数∵△ABC是钝角三角形，可得∠C为钝角，有cosC＜0，由余弦定理得：（n+1）2=（n-1）2+n2-2n（n-1）•...

（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1（n∈N^*且n＞1），根据两边之和大于第三边和C为钝角，建立不等式并解之可得2＜n＜4，因此n=3可得△ABC三边长分别为2，3，4．最后根据余弦定理即可算出最大角的余弦值；  
（2）由（1）得最大角是角C，利用同角三角函数的关系算出sinC=

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4

，设平行四边形两边分别为m、n，可得它的面积为S=mnsinC=

15

4

mn，再根据m+n=4用基本不等式求最值，即可得到当且仅当m=n=2时平行四边形面积最大值为

15

．

本题考点：余弦定理．

考点点评：本题给出三边长为连续整数的三角形，且最大角为钝角时求最大角的余弦之值，并依此求一个平行四边形的面积最大值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、用基本不等式求最值和平行四边形面积公式等知识，属于中档题．