已知:f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)在其定义域内的单调性; (3)若f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较a-b与1的大小.
题目
已知:f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)在其定义域内的单调性;
(3)若f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较a-b与1的大小.
答案
(1)要使函数有意义,则ax-bx>0,∴(ab)x>1,∵ab>1,∴x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).(2)设x2>x1>0,∵a>1>b>0,∴ax2>ax1,bx1>bx2,则−bx2>−bx1,∴ax2−bx2>ax1−bx1>0,∴ax2−bx2ax1...
(1)由对数的真数大于零得,ax-bx>0,再由a>1>b>0和指数函数的性质,求出不等式解集即函数的定义域;
(2)先在定义域任取两个自变量,即x2>x1>0,利用指数函数的性质比较对应真数的大小,再根据y=lgx在定义域上是增函数,得出f(x2)与f(x1)的大小,判断出此函数的单调性;
(3)根据(2)证出的函数单调性,求出此区间内的函数的最小值f(1),只要f(1)≥0成立即可,代入函数解析式,利用lg1=0判断a-b与1的大小.
函数的定义域及其求法;函数单调性的性质.
本题是关于对数型复合函数的综合题,根据真数大于零求函数的定义域,判断函数的单调性即比较真数的大小,对于恒成立问题,就是由函数的单调性求出在区间上的最值.
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