高数的证明题,当构造辅助函数 F(x)后,如何证明F(1)=f(1)=F(0)?,

题目

高数的证明题,当构造辅助函数 F(x)后,如何证明F(1)=f(1)=F(0)?,
设f(x) 在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且 f (1) = 2 ∫ xf(x)dx,下限是 0,上限是 1/2,证明：存在 c属于（0 ,1）,使：f(ε) + ε f'(ε) = 0.
可是在你的解答中，c属于(0 ,并不是一定在(a,1)之间

答案

设F（x）=xf(x)在〔0,1〕上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=af(a)=F(a)=F(1)(0则在区间〔a,1〕上满足罗尔定理得存在 c属于（a,1）,也属于（0 ,1）,使：F'(c)=0,即f(c) + c f'(c) = 0.
这种题一般要看结论,看看什么样的函数的导数可能有用.就要想到xf(x)导数f(x)+xf'(x)