3.7己知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且Sn/Tn=3n+1/4n+3,则a9/b10=______.

题目

3.7己知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且Sn/Tn=3n+1/4n+3,则a9/b10=______.

答案

S1/T1=4/7,假设a1=4a,b1=7a,等差求和公式可以知道
S1=n*(2a1+(n-1)d1)/2,T1=n*(2b1+(n-1)d2)/2,对比题目的Sn/Tn,可以知道两者相比可能被约掉了一个常数C和相同的n,即被约掉了cn.假如分子分母同时加上cn,这样就可以知道有
S1=n*(a1+(n-1)d1)/2=cn*（3n+1）,（1）
T1=n*(b1+(n-1)d2)/2=cn*（4n+3）,（2）
从（1）式要成立,则n的系数等式两边恒等,n^2的系数等式两边也必须恒等,即有：
a1-d1/2=c（3）d1/2=3c (4)
(3)/(4),得3a1=2d1 （5）从而有d1=6a
同样的道理,从（2）也可以得到
b1-d2/2=3c （6）d2/2=4c （7）
（6）/(7),得8b1=7d2 （8）从而有d2=8a
这样a9=a1+8d1=4a+8*6a=52a
b10=b1+9d2=7a+9*8a=79a
所以a9/b10=52/79