设X Y 相互独立,且服从N(0,1)分布,试求E(根号（X^2+Y^2）)

题目

设X Y 相互独立,且服从N(0,1)分布,试求E(根号（X^2+Y^2）)
答案说是E((X^2+Y^2)^(1/2))=∫∫(x^2+y^2)^(1/2)dF(x,y)=∫∫(x^2+y^2)^(1/2)f(x,y)dxdy (积分都是从-∞到+∞)
其中f(x,y)是x,y的联合密度函数(一个二元正态分布)
计算这个二重积分(转化成一元积分)
结果应该是(π/2)^(1/2) ,
二重积分怎么积分?求具体过程.

答案

φ(x) =[1/(根号2π)]e^[-(x^2)/2]
故:f(x,y) =φ(x) *φ(y) =[1/(2π)]e^[-(x^2+y^2)/2].
故:E((X^2+Y^2)^(1/2))=∫∫[(x^2+y^2)^(1/2)]*f(x,y)dxdy (积分区域D:xoy平面)
=∫∫(x^2+y^2)^(1/2){[1/(2π)]e^[-(x^2+y^2)/2].}dxdy
=[1/(2π)]*∫∫(r){e^[-(r^2/2].}rdrdθ ( 化为极坐标系下的二重积分,D表示为:0