如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点E． （1）写出图中与△CAE相似的所有三角形； （2）求证：DI=DB； （3）求证：DI2=DE•DA．

题目

如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点E．

（1）写出图中与△CAE相似的所有三角形；
（2）求证：DI=DB；
（3）求证：DI²=DE•DA．

答案

（1）与△CAE相似的所有三角形：△DBE，△DAB；∵∠C=∠D，∠CAE=∠DBE，∴△DBE∽△CAE；∵∠C=∠D，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAC，∴△DAB∽△CAE；（2）证明：连接BI，CI，CD，∵I为内心，∴AI为∠BAC角平分...

（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠C=∠D，∠CAE=∠DBE，再由角平分线定义，则△DBE∽△ABC，△DAB∽△ABC；
（2）连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形，利用等量代换即可证明；
（3）证△DBE∽△DAB，得DB²=DE•DA，再由（2）得DI²=DE•DA．

本题考点：三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了三角形的相似和性质以及三角形的内切圆与内心，证明此题的关键是连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形．此题难度较大，属于难题．