如何证明当且仅当a=b时,均值不等式才能有最大最小值?

题目

如何证明当且仅当a=b时,均值不等式才能有最大最小值?
a+b≥2√ab 这个,当且仅当a=b时,a+b有最小值 就是这个,为什么?

答案

a - 2√(ab) + b
=(√a - √b)^2
我们知道对于一个平方肯定是大于等于 0 的,即
(√a - √b)^2 ≥0
从这个式子中我们可以看到,这个平方最小值就是等于 0,此时：
√a - √b = 0
即 a = b