如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF.求证:AE=AF.
题目
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF.求证:AE=AF.
答案
证明:连接CE,∵EF是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE,OA=OC,∵AE∥BC,∴∠ACB=∠DAC,在△AOE与△COF中,∵∠ACB=∠DACOA=OC∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∵AE=CE,∴四边...
方法一:连接CE,由与EF是线段AC的垂直平分线,故AE=CE,再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC,故可得出△AOE≌△COF,故AE=CF,所以四边形AFCE是平行四边形,再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形,故可得出结论.
方法二:首先证明△AOE≌△COF,可得OE=OF,进而得到AC垂直平分EF,再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF.
线段垂直平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.
本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理,根据题意作出辅助线,构造出平行四边形是解答此题的关键.
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