求曲线积分I=∫xydx+yzdy+xzdz,C为椭圆周:x^2+y^2=1,x+y+z=1,逆时针方向.请用斯托克斯公式做.
题目
求曲线积分I=∫xydx+yzdy+xzdz,C为椭圆周:x^2+y^2=1,x+y+z=1,逆时针方向.请用斯托克斯公式做.
答案
∫xydx+yzdy+xzdz
=∫∫ (0-y)dydz+(0-z)dxdz+(0-x)dxdy
=-∫∫ydydz+zdxdz+xdxdy
化为第一类曲面积分,曲面是x+y+z=1,任一点处的方向余弦是:1/√3,1/√3,1/√3
=-1/√3∫∫ (x+y+z) dS
=-1/√3∫∫ 1 dS
化为二重积分,dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy=√3dxdy
=-∫∫ 1 dxdy 被积函数为1,积分结果是区域面积,积分区域是:x²+y²≤1
=-π
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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