中心在坐标原点焦点在X轴上,离心率为1/2的椭圆与直线Y=3分之2倍根号3x+4有2个不同的交点M,N,且OM⊥ON

题目

中心在坐标原点焦点在X轴上,离心率为1/2的椭圆与直线Y=3分之2倍根号3x+4有2个不同的交点M,N,且OM⊥ON
1求椭圆方程 2 已知定点A(1/2,0） 动点P在椭圆上移动,求|PA|的最大值

答案

(1)设长轴为a,短轴为 b(a＞b),则椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,该椭圆的离心率为1/2,即：√(a^2-b^2)/a=1/2,所以b=√3a/2①.设直线与椭圆的交点M、N的坐标分别为(xm,ym)与(xn,yn),依据题意有：xm^2/a^2+ym^2/b^2=1②xn^2/a^2+yn^2/b^2=1③ym=2√3xm/3+4④yn=2√3xn/3+4⑤由于OM⊥ON,所以ym/xm=-xn/yn,即ymyn=-xmxn⑥联立①→⑥式解得：a=4,b=2√3,所以椭圆方程为： x^2/16+y^2/12=1. (2)|PA|=√[(x-1/2)^2+y^2]⑦,由椭圆方程得y^2=12-3x^2/4代入⑦式并整理得：|PA|=(x-2)^2/4+45/4⑧显然当|x-2|取最大值时,|PA|也取最大值,当x=-4时,|PA|取最大值9/2,这时P点的坐标为(-4,0).