如图,△ABC中,E是△ABC的内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证:DE=DB.

如图,△ABC中,E是△ABC的内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证:DE=DB.

题目
如图,△ABC中,E是△ABC的内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证:DE=DB.
答案
连接BE,
∵E为内心,
∴AE,BE分别为∠BAC,∠ABC的角平分线,
∴∠BED=∠BAE+∠EBA,∠EBA=∠EBC,∠BAE=∠EAC,
∴∠BED=∠EBC+∠EAC,∠EBD=∠EBC+∠CBD,
CD
=
CD

∴∠EAC=∠CBD,
∴∠EBD=∠BED,
∴DE=BD.
首先连接BE,由E是内心,易证得∠BED=∠EBC+∠EAC,∠EBD=∠EBC+∠CBD,又由同弧所对的圆周角相等,证得∠EAC=∠CBD,则可得∠EBD=∠BED,即可证得DE=BD;

三角形的内切圆与内心.

此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识.此题综合性较强,注意数形结合思想的应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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