(1)如图1,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论. (2)如图2,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°.直线DE经过△ABC内部,
题目
(1)如图1,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
(2)如图2,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°.直线DE经过△ABC内部,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/32fa828ba61ea8d324ce97b5940a304e241f5897.jpg)
试猜想线段AD、BE、DE之间满足什么关系?证明你的结论.
答案
(1)CE=DE,CE⊥DE.
理由如下:∵AC⊥AB,DB⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,
在△ACE和△BED中,
∵
,
∴△ACE≌△BED(SAS),
∴CE=DE,∠C=∠BED,
∵∠C+∠AEC=90°,
∴∠BED+∠AEC=90°,
∴∠CED=180°-90°=90°,
∴CE⊥DE;
(2)AD=BE+DE.
理由如下:
∵等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AC=BC,∠ACD+∠BCE=90°,
∵AD⊥DE于点D,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
∵AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
在△ACD和△CBE中,
∵
| ∠CAD=∠BCE | ∠ADC=∠BEC=90° | AC=BC |
| |
,
∴△ACD≌△CBE(SAS),
∴AD=CE,CD=BE,
∵CE=CD+DE,
∴AD=BE+DE.
(1)根据“边角边”证明△ACE和△BED全等,根据全等三角形对应边相等可得CE=DE,根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠BED,然后证明∠CED=90°,从而得到CE⊥DE;
(2)根据同角的余角相等可得∠CAD=∠BCE,然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=CE,CD=BE,再结合图形即可得到AD、BE、DE三者之间的关系.
全等三角形的判定与性质.
本题考查了全等三角形的判定与性质,两个小题都利用等角的余角相等得到相等的角,从而得到三角形全等的条件是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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