已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与c共线?
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已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与c共线?
题目
已知向量
a
=2
e
1
-3
e
2
,
b
=2
e
1
+3
e
2
,其中
e
1
、
e
2
不共线,向量
c
=2
e
1
-9
e
2
.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量
d
=λ
a
+μ
b
与
c
共线?
答案
∵
d
=λ(2
e
1
-3
e
2
)+μ(2
e
1
+3
e
2
)
=(2λ+2μ)
e
1
+(-3λ+3μ)
e
2
,
若
d
与
c
共线,则存在实数k≠0,使
d
=k
c
,
即(2λ+2μ)
e
1
+(-3λ+3μ)
e
2
=2k
e
1
-9k
e
2
,由
2λ+2μ=2k
−3λ+3μ=−9k
得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ、μ,只要λ=-2μ,就能使
d
与
c
共线.
先将向量
a
、
b
代入表示出向量
d
,然后假设共线可得:应有实数k,使
d
=k
c
.即可得到λ=-2μ的关系式,从而得到答案.
本题考点:
向量的线性运算性质及几何意义.
考点点评:
本题主要考查向量的共线定理.属基础题.
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