已知:如图1,在△ABC中,∠ABC=45°,H是高AD、BE的交点. (1)求证:BH=AC; (2)若∠A改成钝角后,结论BH=AC还成立吗?若成立请证明,若不成立,请说明理由.

已知:如图1,在△ABC中,∠ABC=45°,H是高AD、BE的交点. (1)求证:BH=AC; (2)若∠A改成钝角后,结论BH=AC还成立吗?若成立请证明,若不成立,请说明理由.

题目
已知:如图1,在△ABC中,∠ABC=45°,H是高AD、BE的交点.

(1)求证:BH=AC;
(2)若∠A改成钝角后,结论BH=AC还成立吗?若成立请证明,若不成立,请说明理由.
答案
(1)证明:∵∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,
∴∠DAC=∠EBC.
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
在△BDH和△ADC中
∠EBC=∠DAC
BD=AD
∠BDH=∠ADC

∴△BDH≌△ADC(ASA).
∴BH=AC.
(2)如图,HB=AC仍然成立.
证明:∵∠H+∠HAE=90°,∠C+∠CAD=90°,
又∵∠HAE=∠DAC,
∴∠H=∠C.
∵∠ABC=45°,∠ADB=90°,
∴三角形ABD是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
在△BDH和△ADC中
∠H=∠C
∠HDB=∠CDA
BD=AD

∴△BDH≌△ADC(AAS).
∴BH=AC.
(1)可通过全等三角形来证BH=AC,那么关键是证三角形ADC和BDH全等.已知的条件有一组直角,∠DAC和∠EBC都是∠C的余角,因此也相等,只要再证得一组对应边相等即可得出结论.我们发现∠ABC=45°,因此三角形ABD是等腰直角三角形,因此AD=BD,这样两三角形全等的所有条件就都凑齐了,即可得出BH=AC的结论.
(2)同(1)的方法完全相同,也是通过证明三角形HBD和ADC全等来证得.

全等三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质.解答该题时,围绕结论寻找全等三角形,运用全等三角形的性质判定对应线段相等.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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