已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8; (2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f(b/a).
题目
已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f(
).
答案
(Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=
| −2x−2, x<−3 | 4, −3≤x≤1 | 2x+2, x>1 |
| |
,
当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;
当-3≤x≤1时,f(x)≤8不成立;
当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.
所以,不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤-5,或x≥3}.
(Ⅱ)f(ab)>|a|f(
),即|ab-1|>|a-b|.
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|
2-|a-b|
2=(a
2b
2-2ab+1)-(a
2-2ab+b
2)=(a
2-1)(b
2-1)>0,
所以|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立.
(Ⅰ)根据f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=
| −2x−2, x<−3 | 4, −3≤x≤1 | 2x+2, x>1 |
| |
,分类讨论求得不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集.
(Ⅱ)要证的不等式即|ab-1|>|a-b|,根据|a|<1,|b|<1,可得|ab-1|
2-|a-b|
2 >0,从而得到所证不等式成立.
绝对值不等式的解法;不等式的证明.
本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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