四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点,MN的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：∠1=∠2

题目

四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点,MN的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：∠1=∠2

答案

连接AC,取AC的中点E,连接ME,NE.
因为N,E分别是BC,AC的中点,所以,NE平行AB,且NE=1/2AB,
所以,角ENM=角BPN.（平行线的内错角相等）
因为M,E分别是AD,AC的中点,所以,ME平行CD,且ME=1/2CD,
所以,角EMN=角CQN（平行线的同位角相等）
因为AB=CD,所以,NE=ME,所以,角ENM=角EMN,
所以,角BPN=角CQN（即：∠1=∠2）.