如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD．

题目

如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD．

答案

证明：作DO∥AB交AC于O．
则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠BAC=2∠CED，
所以O为△EDC的外心，
取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．
所以△ACE∽△ADF，即有

AD

AC

=

AF

AE

．
再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，
∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，
所以△ADO∽△BAE，
即得

OD

BE

=

AD

AB

=

AD

AC

=

AF

AE

．
故AF=OD=OC=

1

2

CF，从而AO=2OC．
由DO∥AB，得：BD=2CD．

首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有

AD

AC

=

AF

AE

，即可得出△ADO∽△ABE，即可得出BD=2CD．

本题考点：三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了等腰三角形有关知识，以及同圆中同角所对的弦之间的关系．