如图,△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线,BE⊥AE. 求证:(1)DA⊥AE; (2)AC=DE.

如图,△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线,BE⊥AE. 求证:(1)DA⊥AE; (2)AC=DE.

题目
如图,△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线,BE⊥AE.
求证:(1)DA⊥AE;
(2)AC=DE.
答案
(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=
1
2
∠BAC,
又∵AE平分∠BAF,
∴∠BAE=
1
2
∠BAF,
∵∠BAC+∠BAF=180°,
∴∠BAD+∠BAE=
1
2
(∠BAC+∠BAF)=90°,
即∠DAE=90°,
故DA⊥AE;
(2)∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,故∠ADB=90°
∵BE⊥AE,
∴∠AEB=90°,∠DAE=90°,
故四边形AEBD是矩形.
∴AB=DE,
∴AC=DE.
(1)根据角平分线的性质,及∠BAC+∠BAF=180°可求出∠DAE=90°,即可证明DA⊥AE;
(2)因为AB=AC,若要证明AC=DE,可转化为证明AB=DE即可.

矩形的判定与性质;等腰三角形的性质.

本题考查的是角平分线,等腰三角形的性质及矩形的判定定理.有一定的综合性.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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