设直线3x+y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,求m的值.
题目
设直线3x+y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,求m的值.
答案
把原点O(0,0)代入 圆x
2+y
2+x-2y=0,满足方程,所以原点O(0,0)是圆x
2+y
2+x-2y=0上的一点,
又知P、Q也在该圆上,且有OP⊥OQ,因为“圆的直径所对的圆周角为直角”,所以PQ为该圆的直径,
有圆的方程知,圆心为(-
,1),代入直线3x+y+m=0得,m=
,
故m的值为
.
经检验可得原点是圆上的一个点,再由题意可得PQ为该圆的直径,把圆心坐标代入直线的方程,即可求得m的值.
直线和圆的方程的应用.
本题主要考查直线和圆的位置关系,得到直线3x+y+m=0经过圆心,是解题的关键,属于中档题.
举一反三
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