极限习题1.3,第20题

题目

极限习题1.3,第20题
cosX-1除以sin²X的极限为啥是-1/2
详解,求

答案

说明：此题应该是求lim(x->0)[(cosx-1)/sin²x]=?
解法一：原式=lim(x->0)[(-sinx)/(2sinx*cosx)] (0/0型极限,应用罗比达法则)
=(-1/2)lim(x->0)(1/cosx)
=(-1/2)*1
=-1/2；
解法二：原式=lim(x->0)[-2sin²(x/2)/sin²x] (应用半角公式)
=(-1/2)lim(x->0){[sin²(x/2)/(x/2)²]*[x²/sin²x]}
=(-1/2){lim(x->0){[sin(x/2)/(x/2)]}²*[lim(x->0)(x/sinx)]²
=(-1/2)*1²*1² (应用重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1)
=-1/2.