设f(x)=X^3-X设a>0如果过点(a,b)能作y=f(x)的三条切线证明:-a

题目

设f(x)=X^3-X设a>0如果过点(a,b)能作y=f(x)的三条切线证明:-a

答案

此题解法：假设切点横坐标是m,则切线斜率是3×m^2-1,从而切线方程是：y-(m^3-m)=(3m^2-1)(x-m),化简得：y+2m^3=(3m^2-1)x
经过（a,b）,所以有：2m^3-3a(m^2)+(a+b)=0,由于过（a,b）可作三条切线,因此关于m的方程
2m^3-3a(m^2)+(a+b)=0
必须有3个解,考虑三次函数g(m)=2m^3-3a(m^2)+(a+b),求导讨论极值点g'(m)=6m(m-a),在m=0处极大值,m＝a>0处极小值,
显然g（＋∞）＝＋∞,g（－∞）＝－∞,g(m)＝0有三个解必须有
g(0)>0,g(a)0,-a^3+a+b