若f(cosx)=coskx,则f(sinx)=sinkx时,整数k应满足的条件是什么?

题目

若f(cosx)=coskx,则f(sinx)=sinkx时,整数k应满足的条件是什么?

答案

根据诱导公式有：sinx=cos（π/2-x）
∴f（sinx）=f[cos（π/2-x）]=cos[k(π/2-x)]=cos（kπ/2-kx）
要使f（sinx）=sinkx成立,只需cos（kπ/2-kx）=sinkx成立
即cos（kπ/2-kx）=cos(π/2-kx),
根据终边相同的三角函数值相等得到：
kπ/2-kx=π/2-kx+2kπ,得到k=4n+1（n∈Z）