已知a是自然数,关于x的方程2x-a1−x-a+4=0至少有一个整数根,则a可取值的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4

已知a是自然数,关于x的方程2x-a1−x-a+4=0至少有一个整数根,则a可取值的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4

题目
已知a是自然数,关于x的方程2x-a
1−x
-a+4=0至少有一个整数根,则a可取值的个数为(  )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
2x-a
1−x
-a+4=0,
显然满足条件的x,必使得
1−x
为整数,否则a=
2x+4
1−x
+1
不可能为整数,
1−x
=y
(y为非负整数),
则原式变为2(1-y2)-ay-a+4=0,
a=
2(1−y2)+4
1+y
=2(1−y)+
4
1+y

∵y为非负整数 (又4能整除1+y),
∴要使a为整数,则y=0,1,3,
此时a=6,2,-3.
又知a为非负整数,a=6,2,
当a=0时,方程也有一个整数根,
a=6,2,0,
故答案为:C.
首先根据方程2x-a
1−x
-a+4=0 求得a=
2x+4
1−x
+1
.再假设
1−x
=y(y为非负整数),则求得x代入转化为y的方程.利用整数的特点进一步确定y的值,进而求得a的值.

无理方程.

本题考查一元二次方程整数根与有理根.解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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