设A=1/2^10+1/（2^10+1）+1/（2^10+2）+...+1/（2^11+1）,则A与1的大小关系为?

题目

设A=1/2^10+1/（2^10+1）+1/（2^10+2）+...+1/（2^11+1）,则A与1的大小关系为?

答案

A=1/2^10+1/(2^10+1)+...+1/(2^11+1)
=1/2^10+1/(2^10+1)+...+1/(2^10+2^10+1)
故A共有2^10+2项
第一项与最后一项：1/2^10+1/(2^11+1)
因：1/(2^10*(2^10+1))=1/2^10-1/(2^10+1)>1/(2^11*(2^11+1))=1/2^11-1/(2^11+1)
故：1/2^10+1/(2^11+1)>1/(2^10+1)+1/2^11,即第二项与倒数第二项的和
同理：1/(2^10+1)+1/2^11>1/(2^10+2)+1/(2^11-1),即第三项与倒数第三项的和
即：1/2^10+1/(2^11+1)>1/(2^10+1)+1/2^11>1/(2^10+2)+1/(2^11-1)>...
>1/(2^10+(2^9+1))+1/(2^10+(2^9+2)),即中间两项的和
故：A<(1/2^10+1/(2^11+1))*(2^10+2)/2
而：1/2^10+1/(2^11+1)<1/(2^10+2)+1/(2^10+2)=2/(2^10+2)
这是因为：1/2^10+1/(2^11+1)-2/(2^10+2)
=1/2^10+1/(2^11+1)-1/(2^9+1)≈1/2^10+1/2^11-1/2^9
=(1/2^9)(1/2+1/4-1)=-(1/2^9)/4<0
即：A<2/(2^10+2)*(2^10+2)/2=1
即：A<1