数列求和极限问题

题目

数列求和极限问题
已知f[1] = 1/3; f[2] = 2/27
f[n] = 2/3*(f[1]*f[n-1] + f[2]*f[n-2] + ...+ f[n-1]*f[1])
求(f[1]+f[2]+...+f[n])当n趋于无穷大的极限.
请问能否求出f[n]的通项公式或者s[n]的呢?
f[n] = 2*(f[1]*f[n-1] + f[2]*f[n-2] + ...+ f[n-1]*f[1])/3

答案

你只要能看到卷积形式应该对应于多项式乘法就能做出来.考察母函数g(x)=f[1]x+f[2]x^2+...f[n]x^n+...,条件相当于2/3*g^2=g-x/3,解出g(x)=3/4*(1-sqrt(1-8/9*x)),幂级数的收敛半径为9/8,所以1在收敛圆内,直接得到s[n]...