设A为n(n>2且A为奇数)阶非零实方阵,并且A的转置等于A的伴随阵,如果A的第一行元素全部相等且为a,求a

题目

设A为n(n>2且A为奇数)阶非零实方阵,并且A的转置等于A的伴随阵,如果A的第一行元素全部相等且为a,求a

答案

由 A^T=A* 得 |A|=|A^T|=|A*|=|A|^(n-1)
所以 |A|(|A|^(n-2) - 1)=0
所以 |A|=0 或 |A|=1 (n是奇数)
再由 A^T=A* 两边左乘A 得 AA^T=AA*=|A|E
所以AA^T中第i行第i列元素为 ai1^2+...+ain^2 = |A|
由已知A≠0,且A是实方阵
所以 |A|≠0
故 |A|=1
所以i=1时有 a^2+...+a^2=|A|=1
na^2=1
a = ±1/√n